Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2）；
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

bn

3n-1

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，由此能求出an=2•3n-1．（n∈N^*）．
 （Ⅱ）（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，bn=3bn-1+2•3n-1，將其變形為

bn

3n-1

=

bn-1

3n-2

+2，由此能證明數(shù)列{

bn

3n-1

}是首項(xiàng)為

b1

30

=1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由已知得bn=(2n-1)•3n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，n≥2，
∵n=1時(shí)，a₁=S₁也適合上式，
∴an=2•3n-1．（n∈N^*）．
 （Ⅱ）（Ⅰ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，bn=3bn-1+2•3n-1，
將其變形為

bn

3n-1

=

bn-1

3n-2

+2，
即

bn

3n-1

-

bn-1

3n-2

=2，
∴數(shù)列{

bn

3n-1

}是首項(xiàng)為

b1

30

=1，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得

bn

3n-1

=1+2（n-1）=2n-1，
∴bn=(2n-1)•3n-1，
∴Tn=1×30+3×3+5×32+…+(2n-1)×3n-1，
∴3Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n-1）×3ⁿ，
兩式相減，得2Tn=-1-2(3+32+…+3n-1)+(2n-1)×3n，
∴Tn=(n-1)•3n+1，n∈N*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，考查前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．