如圖，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，準(zhǔn)線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）已知直線和拋物線交于點，命題P：“若直線過定點，則”，請判斷命題P的真假，并證明。

 

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）命題P為真命題

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)拋物線的方程為，

其準(zhǔn)線的方程為.           

∵準(zhǔn)線與圓相切，

∴所以圓心到直線的距離，解得.

故拋物線的方程為:． 

（Ⅱ）命題P為真命題

因為直線和拋物線交于點且過定點，所以直線的斜率一定存在

設(shè)直線，交點聯(lián)立拋物線的方程，

得 恒成立           

由韋達(dá)定理得        

，所以命題P為真命題 

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；恒過定點的直線；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，以及直線與拋物線的位置關(guān)系判斷，做題時要認(rèn)真分析，避免不必要的錯誤．

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線的頂點為P（-2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，-2），點A的對應(yīng)點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分13分)如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，且開口向右，點A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點，直線AB的方程為.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點M為某定點，過點M的動直線l與拋物線相交于P，Q兩點，試推斷是否存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，且開口向右，點A，B，C在拋物線上，△ABC的重心F為拋物線的焦點，直線AB的方程為。

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)點M為某定點，過點M的動直線l與拋物線相交于P，Q兩點，試推斷是否存在定點M，使得以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分)

如圖，拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，準(zhǔn)線與圓相切．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點在拋物線上，且，求點的坐標(biāo)．

 

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