(1)(選修4-2 矩陣與變換)已知矩陣A=
12
-14
,向量
α
=
7
4

①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2

②求A5
α
的值.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中,圓ρ=2上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6
的距離的最小值.
(3)選修4-5;不等式選講知x,y,z為正實(shí)數(shù),且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x,y,z的值.
分析:(1)①先求出矩陣A的特征多項(xiàng)式,令特征多項(xiàng)式等于零,求得特征值,即可求得特征向量
α1
、
α2

②由
α
=m
α1
+n
α2
求得m、n的值,再由A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
,運(yùn)算求得結(jié)果.
(2)把圓、直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出圓心到直線的距離,再將此距離減去半徑,即得所求.
(3)由柯西不等式得
x+4y+9z=[(
x
)
2
+(2
y
)
2
+(3
z
)
2
]•[(
1
x
)
2
+(
1
y
)
2
+(
1
z
)
2
]
                
,再利用基本
不等式求得它的最小值.
解答:解:(1)①矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=
.
λ-1
1
-2
λ-4
.
2-5λ+6,令f(λ)=0,得λ1=2,λ2=3,
當(dāng)λ1=2時(shí),得
α1
=
2
1
,當(dāng)λ2=3時(shí),得
α2
=
1
1
.…(3分)
②由
α
=m
α1
+n
α2
2m+n=7
m+n=4
,得m=3,n=1.
A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
=3(
λ
5
1
α1
)+
λ
5
2
α2
=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
.…(7分)
(2)解:由 ρ=2即ρ2=4,則易得x2+y2=4,由ρ(cosθ+
3
sinθ)=6
易得x+
3
y-6=0
,
∴圓心(0,0)到直線的距離為d0=
|0+0-6|
12+(
3
)
2
=3
,
∵又圓的半徑為2,
∴圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為d=d0-2=3-2=1.…(7分)
(3)解:由柯西不等式得
x+4y+9z=[(
x
)
2
+(2
y
)
2
+(3
z
)
2
]•[(
1
x
)
2
+(
1
y
)
2
+(
1
z
)
2
]
                

(
x
1
x
 +2
y
1
y
+3z•
1
z
)
2
=36,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=3z時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)x=6,y=3,z=2,
所以當(dāng)x=6,y=3,z=2時(shí),x+4y+9z取得最小值36.…(7分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,矩陣的特征值與特征向量,柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個(gè)選擇題,每題7分,請(qǐng)考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1).選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
,A的一個(gè)特征值λ=2,其對(duì)應(yīng)的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩陣A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,計(jì)算A2β的值.

(2).選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,點(diǎn)F1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t為參數(shù),t∈R).求點(diǎn)F1,F(xiàn)2到直線l的距離之和.
(3).選修4-5:不等式選講
已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換.
(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(2)求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4,
π
2
),若直線l過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為 
π
3
,圓C以M為圓心、4為半徑.
(1)求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:福建省09-10學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)理科考試試題 題型:解答題

(共2小題做答,每小題7分)

1.(選修4—2   矩陣與變換)(本題滿分7分)

變換是將平面上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘2,縱坐標(biāo)乘4,變到點(diǎn)。

(1)求變換的矩陣;

(2)圓在變換的作用下變成了什么圖形?

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江蘇省南通市海門(mén)中學(xué)高三(上)開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到3倍的伸壓變換.
(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量;
(2)求逆矩陣M-1以及橢圓+=1在M-1的作用下的新曲線的方程.
21-2.(選修4-4:參數(shù)方程)
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4,),若直線l過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為 ,圓C以M為圓心、4為半徑.
(1)求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系.

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