Question

20．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，則$\frac{1}{A{D}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$，類比上述結(jié)論，在四面體ABCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質(zhì)通過作輔助線將空間的證明問題轉(zhuǎn)化為三角形中的性質(zhì)．

解答 解：類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：在四面體ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．
如圖，連接BE交CD于F，連接AF．
∵AB⊥AC，AB⊥AD
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{F}^{2}}$
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴$\frac{1}{A{F}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$，
∴$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．
故猜想正確，
故答案為$\frac{1}{A{D}^{2}}$+$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$．

點評 本題考查利用類比推理得到結(jié)論、證明類比結(jié)論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉(zhuǎn)化為類比對象的結(jié)論．