設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有an=3Sn+1成立.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn=(-1)n•(2n-1)•an,求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn
分析:(1)當n=1時,由a1=3S1+1求出a1=-
1
2
,又an=3Sn+1,an+1=3Sn+1+1,相減可得
an+1
an
=-
1
2
,從而求得數(shù)列{an}的通項公式.
(2)先依據(jù)題意求出bn=(-1)n•(2n-1)•(-
1
2
)n=(2n-1)(
1
2
)n
,再利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.
解答:解:(1)當n=1時,a1=3S1+1,∴a1=-
1
2

又∵an=3Sn+1,an+1=3Sn+1+1,
an+1-an=3an+1,即
an+1
an
=-
1
2
,∴an=(-
1
2
)n

(2)bn=(-1)n•(2n-1)•(-
1
2
)n=(2n-1)(
1
2
)n

Tn=1×
1
2
+3×(
1
2
)2+5×(
1
2
)3+…+(2n-1)×(
1
2
)n
.…①
1
2
Tn=(
1
2
)2+3×(
1
2
)3+…+(2n-3)×(
1
2
)n+(2n-1)×(
1
2
)n+1
.…②
①-②得:
1
2
Tn=
1
2
+2×[(
1
2
)
2
+(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
]-(2n-1)×(
1
2
)n+1
,
Tn=1+4×
(
1
2
)
2
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-2×(2n-1)×(
1
2
)n+1
=1+2[1-(
1
2
)
n-1
]-2•(2n-1)•(
1
2
)n+1

=3-(n+
3
2
)(
1
2
)n-1
點評:本題主要考查數(shù)列的前n項和與第n項之間的關系,用錯位相減法求數(shù)列的前n項和,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為(  )

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