三棱錐A-BCD中, E是BC的中點,AB=AD,BD⊥DC
（I）求證：AE⊥BD；
（II）若，且二面角A-BD-C為,求AD與面BCD所成角的正弦值。
解：（I）如圖取BD的中點F，連EF,AF，
∵E為BC中點，F(xiàn)為BD中點，
∴FE∥DC.   
又BD⊥DC,∴BD⊥FE.  
∵AB=AD ∴BD⊥AF
又AF∩FE=F，AF,FE面AFE
∴BD⊥面AFE  AE面AFE
∵AE⊥BD，∴BD⊥FE
（II）由（I）知BD⊥AF,
∴∠AFE即為二面角A-BD-C的平面角   
∴∠AFE=60° ∵AB=AD==2,
∴△ABD為等腰直角三角形，故
又，
∴ 
 即∴AE2+FE2=1=AF2∴AE⊥FE
又由(1)知BD⊥AE且BD∩FE=F,BD面BDC,FE面BDC
∴AE⊥平面BDC
∴∠ADE就是AD與面BCD所成角 ，    
在中，，∴.                    
AD與面BDC所成角的正弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐A-BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）若AC=BD，求證：四邊形EFGH是菱形；
（3）當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF⊥DE，且BC=1，則點A到平面BCD的距離為
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．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，點E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求點B到平面ACD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在三棱錐A-BCD中，M，N分別為AB，CD的中點 則下列結(jié)論正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐A-BCD中，平行于BC的平面MNPQ分別交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四點，且MN=PQ．
（1）求證：四邊形MNPQ為平行四邊形；
（2）試在直線AC上找一點F，使得MF⊥AD．

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