給定實(shí)數(shù)a≠0,a≠1,設(shè)函數(shù)y=(x∈R,且x≠),求證:

(1)經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線不平行于x軸；

(2)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

思路解析:對(duì)于(1),可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=的圖象與y=t(t∈R且t是常數(shù))的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)一個(gè);對(duì)于(2),可證明函數(shù)的反函數(shù)與原函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

證明:(1)本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=的圖象與y=t(x∈R,t是常數(shù))的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)一個(gè).

令=t,得(at-1)x=t-1.若(at-1)≠0,則只有一個(gè)解;

若at-1=0,得t=1.∴a=1=t,與a≠1矛盾.

故經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的直線,不平行于x軸.

(2)由y=,得(ay-1)x=(y-1).

若ay-1=0,則y=1,a=1與已知矛盾.

∴ay-1≠0,x=.

∴f-1 (x)=  (x∈R,x≠),

即函數(shù)y= (x∈R,x≠)的反函數(shù)為其本身.

所以這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

深化升華

(1)一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù),則它的圖象與y=t的圖象最多有一個(gè)交點(diǎn).

(2)若一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,則它的反函數(shù)是這個(gè)函數(shù)本身.

(3)與本題有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法有轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定實(shí)數(shù)a，a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=
x-1
ax-1
（x∈R，且x≠
1
a
）．
證明：（1）經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行
于x軸；
（2）這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定實(shí)數(shù)a，a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式（x∈R，且x≠數(shù)學(xué)公式）．
證明：（1）經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行
于x軸；
（2）這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

給定實(shí)數(shù)a，a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=
x-1
ax-1
（x∈R，且x≠
1
a
）．
證明：（1）經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行
于x軸；
（2）這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：1988年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

給定實(shí)數(shù)a，a≠0，且a≠1，設(shè)函數(shù)y=（x∈R，且x≠）．
證明：（1）經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行
于x軸；
（2）這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形．

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