設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)-m≥0在[0,e-1]有實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=f(x)-x2-1,若關(guān)于x的方程g(x)=p至少有一個解,求p的最小值.
(3)證明不等式:ln(n+1)<1+++…+(n∈N*)
解:(1)依題意得 ,而函數(shù)的定義域為 ∴f(x)在(-1,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在[0,e-1]上為增函數(shù)
即實數(shù)m的取值范圍為m≤e2-2;4分 (2) 則 顯然,函數(shù)g(x)在(-1,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為增函數(shù) 則函數(shù)g(x)的最小值為g(0)=0 所以,要使方程g(x)=p至少有一個解,則p≥0,即p的最小值為0;8分 (3)由(2)可知:g(x)=2[x-ln(1+x)]≥0在(-1,+∞)上恒成立 所以ln(1+x)≤x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立 令,則x∈(0,1)代入上面不等式得: 即,即 所以,ln2-ln1<1,,,…, 將以上n個等式相加即可得到:;12分 |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆寧夏高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln (1+x).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有兩個相異實根,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=.
(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性;(3)求證:f+f(x)=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)二項式定理及應(yīng)用專項訓(xùn)練(河北) 題型:填空題
設(shè)函數(shù)f(x)=(1-2x)10,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的展開式x2項的系數(shù)為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln (1+x).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有兩個相異實根,求實數(shù)a的取值范圍.
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