Question

2．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a為偶函數(shù)，且f（x+1）-f（x）=2x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+λx，求函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二次函數(shù)f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a為偶函數(shù)，求出b，利用f（x+1）-f（x）=2x+1，求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=x²+λx+2，對稱軸x=-$\frac{λ}{2}$，分類討論求函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+（2b-1）x+6b-a為偶函數(shù)，
∴2b-1=0，∴b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=ax²+3-a
∵f（x+1）-f（x）=2x+1，
∴a（x+1）²+3-a-（ax²+3-a）=2x+1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=x²+λx+2，對稱軸x=-$\frac{λ}{2}$
①當-$\frac{λ}{2}$＜0即λ＜0時，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（0）=2----------（8分）
②當0≤$\frac{λ}{2}$≤1，即0≤λ≤2時，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（-$\frac{λ}{2}$）=2-$\frac{{λ}^{2}}{4}$--------（10分）
③當$\frac{λ}{2}$＞1即λ＞2時，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為g（1）=3+λ．
綜上所述，函數(shù)g（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為$\left\{\begin{array}{l}{2，λ＜0}\\{2-\frac{{λ}^{2}}{4}，0≤λ≤2}\\{3+λ，λ＞2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最小值，考查分類討論的數(shù)學思想，求出函數(shù)的解析式，正確分類討論是關(guān)鍵．