設(shè)函數(shù)．
（1）對于任意實數(shù)x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，求a的取值范圍．
【答案】分析：（1）f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，等價于m≤（3x2-9x+6）min，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值；
（2）結(jié)合圖象，方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，等價于函數(shù)f（x）只有一個零點，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的極大值、極小值，只需令極大值小于0或極小值大于0即可；
解答：解：（1）f′（x）=3x2-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x2-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x2-9x+6=3在[1，5]上的最小值為-，
所以m≤-，即m的最大值為-．
（2）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
當(dāng)x＜1或x＞2時f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
所以f（x）極大值=f（1）=-a，f（x）極小值=f（2）=2-a，
故當(dāng)f（1）＜0或f（2）＞0時，方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，解得a＞或a＜2，
所以所求a的取值范圍為：（-∞，2）∪（，+∞）．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立及函數(shù)的零點，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，而方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點解決．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常數(shù)）；
②對于D內(nèi)任意x2，當(dāng)x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）（理）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（文）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）（理）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（文）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數(shù)，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數(shù)，求m和n滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，正確的是（　�。�
①對于定義域為R的函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；
②當(dāng)a＞1時，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增”的充分必要條件；
④設(shè)a∈{-1，1，
1
2
，3}，則使函數(shù)y=xa的定義域為R且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數(shù)f（x）=2x-log0.5x的零點，若0＜x0＜a，則f（x0）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數(shù)）；②對于D內(nèi)任意x2，當(dāng)x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南通市啟東中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數(shù)）；②對于D內(nèi)任意x2，當(dāng)x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）若是“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

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