Question

已知數列{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，求T_n（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設出公比和公差，根據條件和等差、等比數列的通項公式、前n項和公式列出方程，求出公比和公差，即可求出通項；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_nb_n，利用錯位相減法求出T_n的表達式．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程組

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
則T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
由①-②得，-T_n=2×2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=4+3×

4(1-2n-1)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的綜合問題，以及錯位相減法求數列的和，考查計算能力，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握基礎知識、基本方法．