Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B，C是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上不同的三點，$A（\sqrt{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，B（-2，-2），C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點P在橢圓上（異于點A，B，C）且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點，證明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$為定值并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）將A，B坐標代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓的標準方程；
（2）設點C（m，n）（m＜0，n＜0），則BC中點為（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n-2}{2}$），求得直線OA的方程，利用點C在橢圓上，即可求點C的坐標；
（3）求出M，N的縱坐標，利用點C在橢圓上，結合向量的數量積公式，即可求得結論．

解答 解：（1）由已知，將$A（\sqrt{10}，\frac{{\sqrt{10}}}{2}）$，B（-2，-2）代入橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{{a}^{2}}+\frac{\frac{10}{4}}{^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=20}\\{^{2}=5}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；                 …（4分）
（2）解：設點C（m，n）（m＜0，n＜0），則BC中點為（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n-2}{2}$）．
由已知，求得直線OA的方程：x-2y=0，從而m=2n-2．①
又∵點C在橢圓上，
∴m²+4n²=20．②
由①②，解得：n=2（舍），n=-1，從而m=-4．
∴點C的坐標為（-4，-1）．…（8分）
（3）證明：設P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂）．
∵P，B，M三點共線，則$\frac{{y}_{1}+2}{2{y}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{0}+2}{2{x}_{0}+2}$整理得y₁=$\frac{2（{x}_{0}-{y}_{0}）}{2{y}_{0}+2-{x}_{0}}$．…（10分）
∵P，C，N三點共線，則$\frac{{y}_{2}+1}{2{y}_{2}+4}$=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}+4}$，整理得y₂=$\frac{{x}_{0}-4{y}_{0}}{2{y}_{0}-2-{x}_{0}}$．…（12分）
∵點C在橢圓上，
∴x₀²+4y₀²=20，x₀²=20-4y₀²，
從而y₁y₂=$\frac{2（{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-5{x}_{0}{y}_{0}）}{{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-4}$=$\frac{2（20-5{x}_{0}{y}_{0}）}{16-4{x}_{0}{y}_{0}}$=2×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{2}$．      …（14分）
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=5y₁y₂=$\frac{25}{2}$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值，定值為$\frac{25}{2}$．      …（16分）

點評 本題考查橢圓的方程，考查向量的數量積公式，直線的斜率公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．