Question

3．在平面直角坐標系中，直線$\sqrt{2}x-y+m=0$不過原點，且與橢圓$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$有兩個不同的公共點A，B．
（Ⅰ）求實數(shù)m取值所組成的集合M；
（Ⅱ）是否存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補．若存在，求出所有定點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線$\sqrt{2}x-y+m=0$不過原點，知m≠0，將$\sqrt{2}x-y+m=0$與$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$聯(lián)立，得：$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，由此利用根的判別式，能求出實數(shù)m的范圍組成的集合M．
（2）假設存在定點P（x₀，y₀）使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，則k_PA+k_PB=0，令$A（{x_1}，\sqrt{2}{x_1}+m），B（{x_2}，\sqrt{2}{x_2}+m）$，得：$\begin{array}{l}2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{2}{x_0}-{y_0}）（{x_1}+{x_2}）2{x_0}（{y_0}-m）={0}\end{array}$，由此利用韋達定理能求出所有定點P的坐標．

解答 解：（1）因為直線$\sqrt{2}x-y+m=0$不過原點，所以m≠0，
將$\sqrt{2}x-y+m=0$與$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$聯(lián)立，消去y得：$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，
因為直線與橢圓有兩個不同的公共點A，B，
所以△=8m²-16（m²-4）＞0，解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，
所以實數(shù)m的范圍組成的集合M是$（{-2\sqrt{2}，0}）∪（{0，2\sqrt{2}}）$；
（2）假設存在定點P（x₀，y₀）使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，
即k_PA+k_PB=0，令$A（{x_1}，\sqrt{2}{x_1}+m），B（{x_2}，\sqrt{2}{x_2}+m）$，
所以$\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}+\frac{{\sqrt{2}{x_2}+m-{y_0}}}{{{x_2}-{x_0}}}=0$，
整理得：$\begin{array}{l}2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-\sqrt{2}{x_0}-{y_0}）（{x_1}+{x_2}）2{x_0}（{y_0}-m）={0^*}\end{array}$，
由（1）知x₁，x₂是$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$的兩個根，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}m}}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$，
代入（*）化簡得$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_0}-{x_0}）m+2（{x_0}{y_0}-\sqrt{2}）=0$，
由題意$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{2}}}{2}{y_0}-{x_0}=0}\\{{x_0}{y_0}-\sqrt{2}=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=1}\\{{y_0}=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=-1}\\{{y_0}=-\sqrt{2}}\end{array}}\right.$
所以定點P的坐標為$P（1，\sqrt{2}）$或$P（-1，-\sqrt{2}）$，
經(jīng)檢驗，滿足題意，
所以存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，
坐標為$P（1，\sqrt{2}）$或$P（-1，-\sqrt{2}）$．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、直線與橢圓位置關系等知識點的合理運用．