06年四川卷理)(12分)

如圖,長方體ABCD-中,E、P分別是BC、的中點(diǎn),

M、N分別是AE、的中點(diǎn),

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)求三棱錐P-DEN的體積。

本小題主要考察長方體的概念、直線和平面、平面和平面的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,以及空間想象能力和推理能力。

解析:解法一:(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連結(jié)

       ∵分別為的中點(diǎn)

       ∵

       ∴,

     ∴面   ∴

(Ⅱ)設(shè)的中點(diǎn)

的中點(diǎn)   ∴   ∴

,交,連結(jié),則由三垂線定理得

從而為二面角的平面角。

中,,從而

中,

故:二面角的大小為

      (Ⅲ)

,交,由

∴在中,

方法二:以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸,建立直角坐標(biāo)系,

分別是的中點(diǎn)

(Ⅰ)

       取,顯然

        ,∴

  ∴

(Ⅱ)過,交,取的中點(diǎn),則

設(shè),則

,及在直線上,可得:

解得

 ∴   即

所夾的角等于二面角的大小

故:二面角的大小為

(Ⅲ)設(shè)為平面的法向量,則

     又

    ∴    即   ∴可取

     ∴點(diǎn)到平面的距離為

    ∵, 

     ∴

     ∴

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