Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-k（x-1），若h（x）存在最大值，且當(dāng)最大值大于2k-2時(shí)，確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1）的值，代入切線方程整理即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-x+1＜0恒成立，設(shè)g（x）=f（x）-x+1，根據(jù)函的單調(diào)性求出g（x）＜0，從而證出結(jié)論；
（Ⅲ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最大值，解關(guān)于k的不等式，從而求出k的范圍即可．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}$，
由題意，f′（1）=1，f（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．…（4分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1，可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-x+1＜0恒成立，
設(shè)g（x）=f（x）-x+1，
所以$g'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x-1成立．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-k（x-1），定義域?yàn)椋?，+∞），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}-k=\frac{1-kx}{x}$．
（1）當(dāng)k≤0時(shí)，對(duì)于任意的x＞0，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）無(wú)最大值，即k≤0不符合題意；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，令h′（x）=0，即1-kx=0，則$x=\frac{1}{k}＞0$．
所以h（x），h′（x）變化如下：

x	0	$（0，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，+∞）$
h′（x）		+	0	-
h（x）	h（0）	↗	極大值	↘

∵$h{（x）_{max}}=h（{\frac{1}{k}}）=ln\frac{1}{k}-1+k$，
∴$ln\frac{1}{k}-1+k＞2k-2$成立，即lnk＜-k+1，
令p（k）=lnk+k-1，k＞0，
∴$p'（k）=\frac{1}{k}+1＞0$，即p（k）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又∵p（1）=0，所以當(dāng)0＜k＜1時(shí)，p（k）＜p（1）=0，
∴0＜k＜1時(shí)，命題成立．
綜上，k的取值范圍為（0，1）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．