Question

設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對于任意的n∈N^*，點(diǎn)（a_n，S_n）都在函數(shù)f(x)=

1

4

x2+

1

2

x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

1

an•an+1

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n①，S_n+1=

1

4

an+12+

1

2

a_n+1②，由②-①可求得a_n+1-a_n=2．易求a₁=2，從而可知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可求其的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法可求得b_n=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），從而可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n，①
∴S_n+1=

1

4

an+12+

1

2

a_n+1，②
②-①得：a_n+1=

1

4

（an+12-an2）+

1

2

（a_n+1-a_n），
∴

1

4

（an+12-an2）=

1

2

（a_n+1+a_n），
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2．
又a₁=

1

4

a12+

1

2

a₁，
∴a₁=2，
∴正項(xiàng)數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵a_n=2n，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

2n(2n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

4

（1-

1

n+1

）
=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的判定及其通項(xiàng)公式，突出考查裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．