Question

已知函數f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x
（1）求f（x）在（e-1，f（e-1））處切線方程
（2）求證：函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減
（3）若不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2對任意的n∈N^*都成立，求實數a的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數在x=e-1處的導數，得到切線的斜率，然后根據點斜式可得切線方程；
（2）這是一個一般的函數，所以用導數法，即證明函數f（x）在區(qū)間（0，1）上的導數恒小于零．
（3）先將不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2對任意的n∈N^*都成立，兩邊取自然對數，轉化為不等式

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立，再用導數法求G(x)=

1

ln(x+1)

 -

1

x

，x∈(0，1]最小值即可．

解答：解：f（x）=2ln（1+x）•

1

1+x

+

2

1+x

-2
（1）由于k=f′(e-1)=

4

e

-2，f（e-1）=ln²（1+e-1）+2ln（1+e-1）-2（e-1）=5-2e
故切線方程y-（5-2e）=(

4

e

-2)[x-(e-1)]，
整理得f（x）在（e-1，f（e-1））處切線方程：
（2e-4）x+ey+5e-4=0；
（2）f′(x)=

2[ln(1+x)-x]

1+x

設g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
則g′(x)=

1

1+x

-1≤0
函數g（x）在x∈（0，1）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函數f（x）在x∈（0，1）上單調遞減；
（3）對不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2的兩邊取自然對數，得到不等式(n+

a

2

)ln(1+

1

n

)≤1，
由1+

1

n

 ＞1知，不等式

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立，
設G(x)=

1

ln(x+1)

 -

1

x

，x∈(0，1]，
則G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

設h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）
h′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（2）知x∈（0，1）時，h′（x）＜h′（0）=0
∴函數h（x）在x∈（0，1）上單調遞減，
h（x）＜h（0）=0
∴G′（x）＜0，∴函數G（x）在x∈（0，1]上單調遞減．
∴G(x)≥G(1)=

1

ln2

-1，
故函數G（x）在（{0，1}]上的最小值為G（1）=

1

ln2

-1，
即

a

2

≤

1

ln2

-1，
∴a的最大值為

2

ln2

-2．

點評：本題主要通過函數的單調性及恒成立問題來考查用導數法求函數的最值問題．