Question

已知f（x）=lnx+

1

x

+ax（a∈R），求f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a；從而化f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)為在[2，+∞）上，

1

x

-

1

x2

+a≥0或

1

x

-

1

x2

+a≤0恒成立，配方法求F（x）=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的值域即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a；
f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)即在[2，+∞）上，

1

x

-

1

x2

+a≥0或

1

x

-

1

x2

+a≤0恒成立，
即a≥

1

x2

-

1

x

或a≤

1

x2

-

1

x

；
令F（x）=

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

；
∵x≥2，
∴0＜

1

x

≤

1

2

；
∴-

1

4

（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

＜0；
故a≥0或a≤-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于難題．