Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在點(diǎn)（e，f（e））處切線與直線e²x-y+e=0垂直．（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，由題意得${f}^{'}（e）=-\frac{1}{{e}^{2}}$，由此得到a=1．
（2）由${f}^{'}（x）=-\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），得到當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，從而當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1），再由函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上存在極值，能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{（1+lnx）（x+1）}{x}＞2$，令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，再令φ（x）=x-lnx，則φ′（x）=1-$\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，由此能證明當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$恒成立．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，∴${f}^{'}（x）=\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
由題意得${f}^{'}（e）=-\frac{1}{{e}^{2}}$，∴-$\frac{a}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，解得a=1．
（2）由（1）得${f}^{'}（x）=-\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1），
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上存在極值，
∴m＜1＜m+1，解得0＜m＜1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）．
（3）當(dāng)x＞1時(shí)，$\frac{1+lnx}{x}$＞$\frac{1}{x+1}$，∴$\frac{（1+lnx）（x+1）}{x}＞2$，
令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，則${g}^{'}（x）=\frac{[（x+1）（lnx+1）]^{'}x-（x+1）（lnx+1）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，則φ′（x）=1-$\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
∵x＞1，∴φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵φ（1）=1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1），又g（1）=2，
∴g（x）＞2恒成立，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、考查不等式性質(zhì)及證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．