Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面積ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面積ABCD，PA＝．

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；

（Ⅱ）求二面角A－BE－P的大�。�

Answer 1

解:解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等邊三角形．因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE．

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°．

故二面角A－BE－P的大小是60°．

解法二    如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0,0,0），B（1,0,0），C（），D（），P（），E（）．

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，平面PAB的一個(gè)法向量是＝（0,1,0），所以和共線．從而BE⊥平面PAB．又因?yàn)锽E平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知=（1,0,-）, =（0, ,0）,

設(shè)=（x₁,y₁,z₁）是平面PBE的一個(gè)法向量，則有

所以y₁=0,x_­1=z₁．故可取=（,0,1）．

而平面ABE的一個(gè)法向量是=（0,0,1）．

于是，cos＜,＞＝．

故二面角A-BE-P的大小是．