Question

已知函數f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x+2）的反函數．
（1）已知關于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有實數解，求實數m的取值范圍；
（2）當0＜a＜1時，討論函數f（x）的奇偶性和單調性；
（3）當0＜a＜1，x＞0時，關于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個不同的實數．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，關于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有實數解可轉化為求函數m=（x-1）（7-x）在[2，6]上的值域，從而求解；
（2）先求定義域，再判斷f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-f（x）；利用單調性的定義求單調性；
（3）由g（x）的表達式，由表達式討論g（x）的取值范圍，從而求關于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個不同的實數時m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，關于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在x∈[2，6]上有實數解可轉化為
求函數m=（x-1）（7-x）在[2，6]上的值域，
該函數在[2，4]上遞增、在[4，6]上遞減，
則m的最小值5，最大值9，即m的取值范圍為[5，9]．
（2）f（x）=log_a

x-1

x+1

的定義域為（-∞-1）∪（1，+∞），
定義域關于原點對稱，
又∵f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴所以函數f（x）為奇函數．
下面討論在（1，+∞）上函數的增減性．
任取x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=

x-1

x+1

，
則t（x₁）-t（x₂）=

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
又∵當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數，
∴l(xiāng)og_at（x₁）＞log_at（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）上函數是減函數．
又∵函數f（x）是奇函數，所以在（-∞-1）上函數也是減函數．
（3）f（x+2）的反函數是g（x）=

3ax-1

1-ax

，
∵0＜a＜1，
∴g（x）=

3ax-1

1-ax

=-3+

2

1-ax

在（0，+∞）上單調遞減，
又∵x＞0，
∴g（x）∈（-1，+∞），如圖1．
令|g（x）|=t，（t≥0），如圖2，
則方程t²+mt+2m+3=0的解應滿足：
0＜t₁＜1≤t₂或

t1=0 0＜t2＜1

，
即

2m+3＞0 1+m+2m+3≤0

或m=-

3

2

（舍），
∴m∈（-

3

2

，-

4

3

]．

點評：本題考查了函數的定義域，值域及單調性、奇偶性的判斷與求法，同時考查了存在性命題的處理方法，屬于難題．