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已知實數m，n都為正數，且
2
m
+
9
n
=1，求m+n+
m2+n2
的最小值．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：由題目提煉出其幾何意義為求過點（2，9）的直線與兩坐標軸正半軸相交所圍成的三角形的周長的最小值，然后利用三角代換列出三角形的周長，然后借助于導數求得最小值．
解答： 解：原題的幾何意義是求過點（2，9）的直線與兩坐標軸正半軸相交所圍成的三角形的周長的最小值．
設三角形三個頂點坐標分別為O（0，0），A（m，0），B（0，n），其中m＞0，n＞0，
如圖

設角OAB=α，α∈（0，
π
2
），則：
OA=m=2+
9
tanα
，
OB=n=9+2tanα，
AB=
9
sinα
+
2
cosα
，
周長l=OA+AB+BO=11+
9
tanα
+2tanα+
9
sinα
+
2
cosα

=11+
2tan3
α
2
-5tan2
α
2
+2tan
α
2
+9
tan
α
2
-tan3
α
2
．
令tan
α
2
=x，x∈（0，1），
則l=11+
2x3-5x2+2x+9
x-x3
=
9+13x-5x2-9x3
x-x3
=9+
-5x2+4x+9
x-x3
=9+
9-x
x(1-x)
．
令t=
9-x
x(1-x)
，則t′=
-x2+18x-9
x2(1-x)2
，由t′=0得x=9±6
2
．
當x∈(0，9-6
2
)，(9+6
2
，+∞)時，t′＜0，當x∈(9-6
2
，9+6
2
)，t′＞0．
∴當x=9-6
2
時，l有最小值為26+12
2
．
點評：本題考查了直線與方程，考查了數學轉化思想方法，考查了同角三角函數的基本關系式，訓練了利用導數求函數的最值，是難度較大的題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線上一點，F是雙曲線的右焦點，若|PF|的最小值為
1
2
a，則該雙曲線的離心率為（　�。�
A、
2
B、
3
C、
5
2
D、
5

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=
1
2
PD．
（Ⅰ）求證：平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）若BC與PM所成的角為45°，求二面角M-BP-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右準線為x=
3
2
6
，離心率為
6
3
，A（-a，0），B（0，b），光線通過點C（-1，0）射到線段AB上的點T（端點除外），經過線段AB反射，其反射光線與橢圓交于點M．
（1）求橢圓的方程；
（2）若TC=TM，求T點橫坐標m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

復數z滿足z•
.
z
+z+
.
z
=3，則z對應軌跡的參數方程是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BA=CA=4
2
，點E、F分別是PC和AP的中點
（1）求證：側面PAC⊥側面PBC；
（2）求點B到側面PAC的距離；
（3）求二面角A-BE-F的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設曲線C是動點P到定點F（2，0）的距離和到定直線x=
1
2
的距離之比為2的軌跡．   
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知存在直線l經過點M（1，m）（m∈R），交曲線C于E，F兩點，使得M為EF的中點．
（i）求m的取值范圍； 
（ii）求|EF|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

二次函數y=-x2+6x+m的最大值是5m-3，則m=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

半徑為3
2
并且與圓x2+y2+10x+10y=0相切于坐標原點的圓的方程為
 
．

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