考點(diǎn):異面直線及其所成的角
專題:空間角
分析:由題意畫出圖形,根據(jù)P,Q分別是棱AB,A1D1上的點(diǎn),且PQ⊥AC,得到當(dāng)P與B重合,Q與D1重合時(shí)PQ與BD1所成角最小為0°,當(dāng)P與A重合,Q與A1重合時(shí)PQ與BD1所成角最大,為圖中的∠B1BD1,設(shè)出正方體棱長(zhǎng)通過解直角三角形求得角的余弦值,則PQ與BD1所成角的余弦值得取值范圍可求.
解答:
解:如圖,
∵P,Q分別是棱AB,A
1D
1上的點(diǎn),且PQ⊥AC,
∴當(dāng)P與B重合,Q與D
1重合時(shí),滿足PQ⊥AC,
此時(shí)PQ與BD
1重合,所成角最小,所成角的余弦值最大為1,
當(dāng)P與A重合,Q與A
1重合時(shí),此時(shí)AA
1在平面BB
1D
1D上的射影與BD
1所成角最大,
即PQ與BD
1所成角最大,也就是圖中的∠B
1BD
1.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則
B1D1=a,
BD1=a,
∴
cos∠B1BD1==.
∴PQ與BD
1所成角的余弦值得取值范圍是[
,1].
故答案為:[
,1].
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線所成的角,考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.