Question

某公司生產一產品的固定成本為20000元，每生產一件產品需增加投入100元．已知每月總收益p（x）=

400x- 1 2 x2       0≤x≤400 80000               x＞400

（其中x表示月產量）
（1）將月利潤表示為x的函數f（x）；（利潤=總收益-總成本）
（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）根據利潤=銷售收入-成本，結合銷售收入函數，可把得月利潤表示為x的函數f（x）
（2）分段求出函數的最值，比較它們的大小，可得工廠的利潤最大值．

解答：解：（1）根據利潤=總收益-總成本，可得月利潤f（x）=p（x）-100x-20000=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）當0≤x≤400時，f（x）=-

1

2

x²+300x-20000=-

1

2

（x-300）²+25000
∴x=300時，f（x）_max=25000，
當x＞400時，f（x）=60000-100x為減函數
∴f（x）＜60000-40000=20000
∴當年產量為300件時，工廠的利潤最大，最大值為25000元．

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，解題的關鍵是正確構建函數，確定函數的最值，屬于中檔題．