Question

12．已知函數(shù)f（x）=b•a^x（a＞0，且a≠1，b∈R）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24）．
（1）設(shè)g（x）=$\frac{1}{f（x）+3}$-$\frac{1}{6}$，確定函數(shù)g（x）的奇偶性；
（2）若對任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}$）^x≥2m+1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點的坐標代入函數(shù)解析式，即可求得f（x）與g（x），在利用奇偶性定義判斷g（x）是奇函數(shù)；
（2）對任意x∈（-∞，1]，不等式（$\frac{a}$）^x≥2m+1恒成立 即可轉(zhuǎn)化為：$（\frac{a}）^{x}$≥2m+1在x≤1上恒成立；

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a•b=6}\\{b•{a}^{3}=24}\end{array}\right.$，⇒a=2，b=3．
∴f（x）=3•2^x；
故g（x）=$\frac{1}{3•{2}^{x}+3}-\frac{1}{6}$；
g（x）定義域為R；
∵g（-x）=$\frac{1}{3•{2}^{-x}+3}-\frac{1}{6}$；
=$\frac{1}{3}（\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}）$；
=-g（x）；
所以，g（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)h（x）=$（\frac{a}）^{x}$=$（\frac{2}{3}）^{x}$，則y=h（x）在R上為減函數(shù)；
∴當(dāng)x≤1時，h（x）_min=h（1）=$\frac{2}{3}$；
∵h（x）=$（\frac{a}）^{x}$≥2m+1在x≤1上恒成立：
∴h（x）_min≥2m+1⇒m≤$-\frac{1}{6}$；
故m的取值范圍為：（-∞，$-\frac{1}{6}$]．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)恒成立與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬中等題．