Question

3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為（　　）

• A． 48
• B． 16
• C． 32
• D． 16$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖畫(huà)出此幾何體：鑲嵌在正方體中的四棱錐，由正方體的位置關(guān)系判斷底面是矩形，做出四棱錐的高后，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明，由等面積法求出四棱錐的高，利用椎體的體積公式求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，
正方體的棱長(zhǎng)為4，O、A、D分別為棱的中點(diǎn)，
∴OD=2$\sqrt{2}$，AB=DC=OC=2$\sqrt{5}$，
做OE⊥CD，垂足是E，
∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，則四邊形ABCD是矩形，
∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，
∵△ODC的面積S=$4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×4×2$=6，
∴6=$\frac{1}{2}•CD•OE$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×OE$，得OE=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
∴此四棱錐O-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•OE$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{5}×\frac{6}{\sqrt{5}}$=16，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖求不規(guī)則幾何體的體積，以及等面積法的應(yīng)用，由三視圖正確復(fù)原幾何體、并放在對(duì)應(yīng)的正方體中是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和數(shù)形結(jié)合思想．