已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b在區(qū)間在x=2處取得極值-8
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(3)當x∈[-3,3]時,求y=f(x)的最值域.
分析:(1)求出導函數(shù),令f′(2)=0,f(2)=-8,列出方程組,求出a,b的值得到函數(shù)的解析式.
(2)將求出的a,b值代入導函數(shù),令導函數(shù)大于0,求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間;令導函數(shù)小于0 得到x的范圍為單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)由(2),求出函數(shù)的兩個極值及端點值,比較出最大值 與最小值,求出值域.
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2-a
f(x)=x3-ax+b在區(qū)間在x=2處取得極值-8
f′(2)=0
f(2)=-8
12-a=0
8-2a+b=-8

解得a=12,b=8
所以f(x)=x3-12x+8
(2)由(1)f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)
令f′(x)>0得x>2或x<-2;令f′(x)<0得-2<x<2
所以y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞)和(-∞,-2);遞減區(qū)間有(-2,2).
(3)由(2)得x=-2是極大值點,x=2是極小值點,且f(-2)=24,f(2)=-8,f(-3)=17,f(3)=-1
所以函數(shù)的值域為[-8,24].
點評:函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0;導函數(shù)大于0的x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間;導函數(shù)小于0的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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