Question

已知-

π

6

≤β＜

π

4

，3sin²α-2sin²β=2sinα，試求sin2β-

1

2

sinα的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專(zhuān)題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：由已知中-

π

6

≤β＜

π

4

，3sin²α-2sin²β=2sinα，我們可以判斷出sinα的取值范圍，進(jìn)而利用同角三角形函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和sinα的取值范圍，即可得到答案．

解答： 解：由3sin²α-2sin²β=2sinα，可得sin²β=

3

2

sin²α-sinα，
∵-

π

6

≤β＜

π

4

，∴-

1

2

≤sinβ＜

2

2

，
∴0≤sin²β＜

1

2

，
∴0≤

3

2

sin²α-sinα＜

1

2

，
解得

2

3

≤sinα＜1，
∴sin2β-

1

2

sinα=

3

2

sin²α-

3

2

sinα=

3

2

(sinα-

1

2

)2-

3

8

，
∵

2

3

≤sinα＜1，
∴sinα=

2

3

時(shí)，sin2β-

1

2

sinα的最小值為-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件判斷出sinα的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．