Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的左焦點為F₁，上頂點為A，過點A與AF₁垂直的直線分別交橢圓和x軸正半軸于P、Q兩點，且P分向量

AQ

所成的比為λ．
（1）當λ∈（1，2）時，探求橢圓離心率（

1

e

-e）²的取值范圍；
（2）當λ=

8

5

時，過A、Q、F₁三點的圓恰好與直線L：x+

3

y+3=0相切，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P分向量

AQ

所成的比為λ，可得點P的坐標，代入橢圓方程，再利用

F1A

•

AQ

=0，聯(lián)立可表示出（

1

e

-e）²，進而根據(jù)λ∈（1，2），可探求橢圓離心率（

1

e

-e）²的取值范圍；
（2）當λ=

8

5

時，e-

1

e

=-

3

2

，故e=

1

2

，a=2c．利用圓恰好與直線L：x+

3

y+3=0相切，可求a=2，b=

3

，從而得到橢圓方程

解答：解：（1）設(shè)Q（x₀，0），F(xiàn)₁（-c，0），A（0，b），
∵P分向量

AQ

所成的比為λ，
∴P（

λx0

1+λ

，

b

1+λ

），∴（

λx0

1+λ

）²

1

a2

+（

b

1+λ

）²

1

b2

=1．        ①
而

F1A

=（c，b），

AQ

=（x₀，-b），

F1A

•

AQ

=0，
∴cx₀-b²=0．   ②
由①、②消去x₀，得（

λb2

1+λ

）²

1

c2a2

+（

1

1+λ

）²=1，
即λ²

b4

c2a2

=（1+λ）²-1，即（

1

e

-e）²=1+

2

λ

∈（2，3）．   
（2）當λ=

8

5

時，e-

1

e

=-

3

2

，
∴e=

1

2

，a=2c．
又∵△AF₁Q是直角三角形，其外接圓圓心是斜邊中點，
∴圓心為（

b2 c +(-c)

2

，0）=（

a2-c2-c2

2c

，0）=（c，0），
半徑為r=

b2 c +c

2

=

a2

2c

=a．
由圓恰好與直線L：x+

3

y+3=0相切，得

|c+3|

2

=a，
∴a=2，b=

3

．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了橢圓的標準方程，有一定的綜合性．