Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=m，
（Ⅰ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3；
（Ⅱ）在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（Ⅰ）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O， AP與平面相交于點(diǎn)G，連結(jié)OG， 因?yàn)镻C∥平面，平面∩平面APC=OG， 故OG∥PC， 所以，OG=， 又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP與平面所成的角， 在Rt△AOG中，tanAGO=，即m=， 所以，當(dāng)m=時(shí)， 直線AP與平面所成的角的正切值為3。 （Ⅱ）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A1C1的中點(diǎn)O1， 因?yàn)镈1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A， 所以D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1， 故D1O1⊥AP， 那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。