在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知直線l:8x+6y+1=0,圓C1:x2+y2+8x-2y+13=0,圓C2:x2+y2+8tx-8y+16t+12=0.
(1)當(dāng)t=-1時(shí),試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若圓C1與圓C2關(guān)于直線l對(duì)稱,求t的值;
(3)在(2)的條件下,若P(a,b)為平面上的點(diǎn),是否存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1與圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
分析:(1)求得兩圓的圓心距,與半徑半徑,即可求得結(jié)論;
(2)確定圓C
2的圓心與半徑,兩圓圓C
1與圓C
2關(guān)于直線l對(duì)稱,直線l的斜率,可求t的值;
(3)利用圓C
1與圓C
2的半徑相等,又直線l
1被圓C
1截得的弦長(zhǎng)與直線l
2被圓C
2截得的弦長(zhǎng)相等,可得圓C
1的圓心到直線l
1距離,和圓C
2的圓心到直線l
2的距離相等,由此可得結(jié)論.
解答:解:(1)t=-1時(shí),圓C
1的圓心C
1(-4,1),半徑r
1=2;圓C
2的圓心C
2(4,4),半徑r
2=2
∴圓心距|C
1C
2|=
>r
1+r
2=8
∴兩圓相離
(2)圓C
2的圓心C
2(-4t,4),半徑r
2=
∵圓C
1與圓C
2關(guān)于直線l對(duì)稱,又直線l的斜率
由
得t=0;,
(3)假設(shè)存在P(a,b)滿足條件:不妨設(shè)l
1的方程為y-b=k(x-a)(k≠0)
則l
2的方程為y-b=-
因?yàn)閳AC
1與圓C
2的半徑相等,又直線l
1被圓C
1截得的弦長(zhǎng)與直線l
2被圓C
2截得的弦長(zhǎng)相等,
所以圓C
1的圓心到直線l
1距離,和圓C
2的圓心到直線l
2的距離相等,
即
=
整理得|(a+4)k-b+1|=|(b-4)k+a|
即(a+4)k-b+1=(b-4)k+a或(a+4)k-b+1=(4-b)k-a
即(a-b+8)k-a-b+1=0或(a+b)k+a-b+1=0
因?yàn)閗取值無窮多個(gè)
所以
或
解得
或
∴這樣的點(diǎn)P可能是P
1(-
),P
2(-
)
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-
)和(-
).
點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓的位置關(guān)系,考查圓的對(duì)稱性,考查存在性問題的探求,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.