Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，點M、N分別是CC₁、BC的中點，動點P在線段A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求證：PN⊥AM恒成立；
（3）當(dāng)λ=1時，線段AB上是否存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN，若存在，求出點Q的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義即可得出；
（2）利用正方形的性質(zhì)、三角形全等、線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明；
（3）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面的距離公式即可得出．

解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，∴A₁A⊥AB，
又∵AC⊥AB，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥AM，
∴∠MAC即為二面角M-AB-C的平面角．
∵AC=1，則CM=

1

2

，∴AM=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．
∴cos∠CAM=

AC

AM

=

2 5

5

．
（2）取AC的中點K，連接NK、A₁K．則NK∥AB．
由（1）可知：NK⊥平面ACC₁A₁．
∴NK⊥AM．
在正方形ACC₁A₁中，由△A₁AK≌△ACM，可得∠MAC=∠KA₁A，
∴∠MAC+∠AKA1=90°，即AM⊥A₁K．
又NK∩A₁K=K，
∴AM⊥A₁PNK．
∴PN⊥AM．
（3）當(dāng)λ=1時，假設(shè)線段AB上存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN?點M到底面ANP的距離=2點Q到底面ANP的距離．下面通過建立空間直角坐標(biāo)系來證明．
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），P(-

1

2

，0，1)，N(-

1

2

，

1

2

，0)，M(0，1，

1

2

)．

AP

=(-

1

2

，0，1)，

AN

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

AM

=(0，1，

1

2

)．
設(shè)Q（0，k，0），則-1≤k≤0，

AQ

=(0，k，0)．
設(shè)平面ANP的法向量為

n

=（x，y，z）．
則

n • AP =0 n • AN =0

即

- 1 2 x+z=0 - 1 2 x+ 1 2 y=0

，令z=1，則x=y=2，
∴

n

=(2，2，1)．
∴

| n • AM |

| n |

=

| n • AQ |

| n |

，得2+

1

2

=|2k|，解得k=±

5

4

，不滿足條件-1≤k≤0，因此線段AB上不存在Q使得VP-AQN=

1

2

VP-AMN．

點評：熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義、正方形的性質(zhì)、三角形全等、三棱錐的條件計算公式、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．