Question

（2009•虹口區(qū)一模）已知：橢圓C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)和雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

4

=1．過橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂作與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，|PQ|=3．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若以橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）橢圓過焦點(diǎn)垂直長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于

2b 2

a

，用此公式代入已知條件，可以求出橢圓C₁的半短軸b的值，從而得出橢圓C₁的方程；
（2）以橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，說明右頂點(diǎn)A（2，0）到雙曲線的漸近線2x±ay=0的距離等于該圓的半徑1，用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)系式，可以求出雙曲線的實(shí)半軸a的值，從而得出雙曲線的方程．

解答：解：（1）根據(jù)橢圓C1：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)，
過右焦點(diǎn)F₂作與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3．
可得：2×

b 2

2

=3⇒b=

3

所以橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），焦點(diǎn)F₂（1，0）
∵橢圓右頂點(diǎn)A為圓心，|AF₂|為半徑的圓與雙曲線C₂的漸近線相切，
∴點(diǎn)A（2，0）到直線y=±

2

a

x的距離等于圓的半徑1
得

|4|

2 2+a 2

=1⇒a²=12
∴雙曲線C₂的方程為：

x2

12

-

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．直線與圓錐曲線、直線與圓和橢圓相結(jié)合，利用點(diǎn)到直線的距離解決相切相交等等考點(diǎn)，是近幾年�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，值得我們注意．