Question

已知可由數列{a_n}構造一列向量：

βn

=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量

m

=（1，3），

p

=（3a₁，7-a₂），且向量

m

與

p

垂直，以及向量

m

與

βn

平行（n∈Z₊）．
（1）試確定a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列與向量的綜合,平行向量與共線向量

專題：等差數列與等比數列,平面向量及應用

分析：（1）利用向量的平行與垂直，列出關系式即可求解a₁的值；
（2）利用向量

m

與

βn

平行（n∈Z₊）．推出數列的遞推關系式，轉化為數列是等比數列，求出新數列的通項公式，即可求數列{a_n}的通項公式．

解答： （本題滿分13分）
解：（1）由向量

m

⊥

p

，以及向量

m

∥

βn

，
可得

3a1+21-3a2=0 6a1-a2+4=0

解得a1=

3

5

．
（2）?n∈Z+，

m

∥

βn

，于是有2an×3-an+1+2n+1=0，
整理得：an+1=6an+2n+1，
∴

an+1

2n+1

=3•

an

2n

+1，
∴

an+1

2n+1

+

1

2

=3•(

an

2n

+

1

2

)，
∵

a1

2

+

1

2

=

4

5

≠0，
∴

an

2n

+

1

2

=

4

5

×3n-1
∴數列{

an

2n

+

1

2

}是以

4

5

為首項，以3為公比的等比數列．
∴an=(

4

5

×3n-1-

1

2

)•2n=

2n+2•3n-1

5

-2n-1.．

點評：本題考查向量與數列的綜合應用，數列的通項公式的求法，考查分析問題解決問題的能力．