Question

已知正三棱錐P-ABC側(cè)棱長為1，且PA、PB、PC兩兩垂直，以頂點A為球心，

2 3

3

為半徑作一個球，則球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線，則這條封閉曲線的長度為

3

2

π

．

Answer 1

分析：設(shè)以頂點A為球心，

2 3

3

為半徑作一個球，球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線是EFNM，如圖所示．正確分析與各面的交線結(jié)合弧長公式即可求出答案．

解答：解：設(shè)以頂點A為球心，

2 3

3

為半徑作一個球，球面與正三棱錐的表面相交得到一條封閉的曲線是EFNM，如圖所示．
則AE=AF=AM=AN=

2 3

3

，
在直角三角形APE中，cos∠PAE=

1

2 3 3

=

3

2

，∴∠PAE=

π

6

，
∴

ME

=（

π

4

-

π

6

）×

2 3

3

=

3 π

18

，
同理

NF

=

3 π

18

；
在直角三角形PBC中，∠BPC=

π

2

，PE=PF=

3

3

，
∴

EF

=

π

2

×

3

3

=

3 π

6

，
在等邊三角形ABC中，MN=AM=

2 3

3

，∠MAN=

π

3

，
∴

MN

=

π

3

×

2 3

3

=

2 3 π

9

．
則這條封閉曲線的長度為

ME

+

NF

+

EF

+

MN

=

3

2

π．
故答案為：

3

2

π．

點評：本小題主要考查球面距離及相關(guān)計算、正方體的幾何特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．