【題目】設(shè),,是橢圓)的四個頂點,四邊形是圓的外切平行四邊形,其面積為.橢圓的內(nèi)接的重心(三條中線的交點)為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)的面積是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點到直線的距離以及菱形的面積公式可得到關(guān)于的二元二次方程組,解出方程組可得橢圓方程;(Ⅱ)當直線斜率不存在時,易得三角形的面積,當直線斜率存在時,設(shè)直線的方程 , ,聯(lián)立直線與橢圓的方程,運用韋達定理以及,由為重心,可得點坐標,點在橢圓上代入化簡整理可得,利用弦長公式以及點到直線的距離公式求出,由與整體代換思想相結(jié)合可得最后結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)因為四邊形是圓外切平行四邊形,所以

,所以,

故所求橢圓的方程為.

(Ⅱ)當直線斜率不存在時,因為的重心,故為左、右頂點,

不妨設(shè),則直線的方程為,

易得到直線的距離,

所以.

設(shè)直線方程為:,,.

,

.

,

,

.

的重心,∴

點在橢圓上,故有,

化簡得.

.

又點到直線的距離是原點到距離的3倍得到).

.

綜上可得,的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大學(xué)生在開學(xué)季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出盒該產(chǎn)品獲利潤元;未售出的產(chǎn)品,每盒虧損.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示,該同學(xué)為這個開學(xué)季購進了盒該產(chǎn)品,以(單位:盒, )表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.

1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的中位數(shù);

2)將表示為的函數(shù);

3)根據(jù)直方圖估計利潤不少于元的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)y=f(x)在定義域(﹣ ,3)內(nèi)可導(dǎo),其圖像如圖所示.記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),則不等式 ≤0的解集為

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【題目】某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表

廣告費用x(萬元)

4

2

3

5

銷售額y(萬元)

49

26

39

54

根據(jù)上表可得回歸方程 = x+ 為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為( )
A.63.6萬元
B.65.5萬元
C.67.7萬元
D.72.0萬元

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[10,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在多面體中,四邊形為等腰梯形,,,相交于,且,矩形底面,為線段上一動點,滿足.

(Ⅰ)若平面,求實數(shù)的值;

(Ⅱ)當時,銳二面角的余弦值為,求多面體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨機變量X的分布列為

X

﹣1

0

1

2

3

P

0.16

a2

0.3


(1)求a的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X﹣3,求E(Y).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出定義:若 m﹣ <x≤m+ (其中m為整數(shù)),則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù),記作{x},即{x}=m.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f(x)=x﹣{x}的四個命題:
①函數(shù)y=f(x)的定義域是R,值域是(﹣ , ]
②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
③數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱;
④函數(shù)y=f(x)在(﹣ , ]上是增函數(shù);
則其中正確命題是(填序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】解方程:
(1) =3;
(2)log4(3x﹣1)=log4(x﹣1)+log4(3+x).

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