Question

10．已知函數(shù)f（x）=|2x+2|-|2x-2|，x∈R．
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若方程$\frac{f（x）}{2}+a=x$有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，求出不等式的解集即可；
（2）分離a，得到a=x+|x-1|-|x+1|，令h（x）=x+|x-1|-|x+1|，結(jié)合函數(shù)的圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-4≤3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 4x≤3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ 4≤3\end{array}\right.$，
解得：x＜-1或$-1≤x≤\frac{3}{4}$，
∴不等式f（x）≤3的解集為$（-∞，\frac{3}{4}]$．
（2）由方程$\frac{f（x）}{2}+a=x$可變形為a=x+|x-1|-|x+1|，
令$h（x）=x+|{x-1}|-|{x+1}|=\left\{\begin{array}{l}x+2，x＜-1\\-x，\;\;\;-1≤x≤1\\ x-2，x＞1\end{array}\right.$，
作出圖象如下：

于是由題意可得-1＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．