Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x，方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，利用導(dǎo)數(shù)可得其最小值為g（x₂）．則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即2lnx₂+x₂-1=0．設(shè)h（x）=2lnx+x-1（x＞0），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出答案．

解答： 解：∵方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，則g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

．
令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x₂=

m+ m2+4m

2

．
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）最小值為g（x₂）．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 2x22-2mx2-2m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0即2lnx₂+x₂-1=0．
設(shè)h（x）=2lnx+x-1（x＞0），h′（x）=

2

x

+1＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）=0至多有一解．
又h（1）=0，
∴x₂=1，
即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了問題的轉(zhuǎn)化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．