Question

16．（文）點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左右焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 由橢圓的性質(zhì)可知：|F₁P|+|PF₂|=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2；由余弦定理可知：|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos30°，求得|F₁P||PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$），由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$|F₁P||PF₂|•sin30°，即可求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：由題意，橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1
|F₁P|+|PF₂|=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2；
則由余弦定理得，
|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos30°；
故4=（|F₁P|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|cos30°-2|F₁P||PF₂|；
故4=16-|F₁P||PF₂|（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2）；
故|F₁P||PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$）
故△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁P||PF₂|•sin30°
=8-4$\sqrt{3}$；
△F₁PF₂的面積8-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理及三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．