Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₂=4，其前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=n2+λn(λ∈R)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)λ的值，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

1

Sn

+bn}是首項(xiàng)為λ、公比為2λ的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用a₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，求出λ=1，再利用數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通項(xiàng)公式．
（II）求出數(shù)列{

1

Sn

+bn}的通項(xiàng)公式，再得出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)通項(xiàng)公式形式選擇相應(yīng)方法求和．

解答：解：（I）因?yàn)閍₂=S₂-S₁=4+2λ-1-λ=4，解得λ=1∴Sn=n2+n
當(dāng)n≥2時(shí)，則an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足，所以a_n=2n．
（II）由已知數(shù)列{

1

Sn

+bn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列
其通項(xiàng)公式為

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1，且首項(xiàng)

1

S1

+b1=1，
故b1=

1

2

，

1

Sn

+bn=(

1

S1

+b1)2n-1=2^n-1
bn=2n-1-

1

n(n+1)

=2n-1-(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=（1+2¹+…+2^n-1）…-[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2ⁿ-1-

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)列中a_n與 S_n關(guān)系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列公式法、裂項(xiàng)法求和．考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．