Question

 (1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋＋xy；

(2)1＜a≤b≤c，證明log_ab＋log_bc＋log_ca≤log_ba＋log_cb＋log_ac.

Answer 1

證明：　(1)由于x≥1，y≥1，

要證x＋y＋＋xy，

只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)².

因為[y＋x＋(xy)²]－[xy(x＋y)＋1]

＝[ (xy)²－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

由條件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

從而所要證明的不等式成立．

(2)設log_ab＝x，log_bc＝y，由對數(shù)的換底公式得log_ca＝，log_ba＝，log_cb＝，log_ac＝xy.

于是，所要證明的不等式即為x＋y＋＋xy.

其中x＝log_ab≥1，y＝log_bc≥1.

故由(1)可知所要證明的不等式成立．