Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 1+

a

1

-2，喲此解得a的值．
（2）由（1）可得fx）=x+

1

x

，求得它的定義域關(guān)于原點對稱．再由f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）由題意可得 1+

a

1

-2，解得a=1．
（2）由（1）可得fx）=x+

1

x

，它的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱．
再由f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₂＞x₁＞1，可得f（x₂）-f（x₁）=（x2+

1

x2

）-（x1+

1

x1

）=x₂-x₁+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1•x2

）．
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，

1

x1•x2

＜1，故 1-

1

x1•x2

＞0，∴f （x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．