Question

（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)（其中且為常數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，是正半軸上的點(diǎn)．

(1) 求的解析式；

(2) 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是一系列正三角形，記它們的邊長(zhǎng)是，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3) 在(2)的條件下，數(shù)列滿(mǎn)足，記的前項(xiàng)和為，證明：。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），所以

.，兩式相減得：，整理得：.

【解析】

試題分析：（1）.

（2）由.

由 

將代人，由此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:

“已知且，求”.

又，兩式相減可得：

又，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041019114726565117/SYS201304101912222500986222_DA.files/image022.png">，所以, 

從而是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即.

(3) ，所以

.

兩式相減得：

整理得：.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列前n項(xiàng)和的求法。

點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。 形如A_n=B_nC_n，其中B_n為等差數(shù)列，C_n為等比數(shù)列；分別列出S_n，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即qS_n；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可。