Question

（2010•合肥模擬）設(shè)函數(shù)f(x)=px-

p

x

-mlnx．
（1）當(dāng)p=2且m=5時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，+∞）的極值；
（1）若m=2且f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f'（x）＜0和f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后由極值定義確定函數(shù)f（x）在（1，+∞）的極值
（2）先將f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，即導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，最后求并集即可

解答：解：f′(x)=p+

p

x2

-

m

x

=

px2-mx+p

x2

（1）當(dāng)p=2且m=5時(shí)，f′(x)=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
即f（x）在（1，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)
∴f（x）在x=2處取得極小值，
∴函數(shù)f(x)極小值=f(2)=2e-

2

e

-5ln2；
（2）∵m=2，∴f′(x)=

px2-2x+p

x2

  （x＞0）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，∴f/(x)=-

2

x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，
即p=0適合題意；
②當(dāng)p＞0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h（x）min=p-

1

p

，
只需p-

1

p

≥0，即p≥1時(shí)h（x）≥0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，
故p≥1適合題意．
③當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
只要h（0）≤0，
即p≤0時(shí)，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴p＜0適合題意．
綜上所述，p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極值的意義，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值問(wèn)題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法