如圖,在正三棱柱中,AB=2,AA1=2由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線與棱AA1的交點記為M,求:
(1)該最短路線的長及
A1MAM
的值.
(2)平面C1MB與平面ABC所成二面角(銳角)
分析:(1)將側(cè)面AA1B1B繞棱AA1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點B運動到點D的位置,連接DC1交AA1于M,則DC1就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線,求出DC1
A1M
AM
的值即可;
(2)連接DB,C1B,可證∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角,在三角形C1BC中求出此角.
解答:解:(1)如圖,將側(cè)面AA1B1B繞棱AA1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上,點B運動到點D的位置,連接DC1交AA1于M,
則DC1就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線,
其長為
DC2+CC12
=
42+22
=2
5

∵△DMA≌△C1MA1
∴AM=A1M
A1M
AM
=1

(2)連接DB,C1B,
則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線在△DCB中,
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,
∴CB⊥DB,
又C1C⊥平面CBD,
由三垂線定理得C1B⊥DB,∴∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角),
∵側(cè)面C1B1BC是正方形,∴∠C1BC=45°,
故平面C1MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為45°.
點評:本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.
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