Question

（1）已知(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．求n．
（2）如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y=x²和曲線y=

x

圍成一個(gè)葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

•

1

2

，解關(guān)于n的方程即可；
（2）由幾何概型的概率公式可知，需求葉形圖的面積，利用定積分

∫

1 0

(

x

-x2)dx可求葉形圖的面積，從而使問(wèn)題解決．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，
∴

C

0 n

+

C

2 n

(

1

2

)2=2

C

1 n

•

1

2

…（3分）
∴1+

n(n-1)

2

×

1

4

=n，
整理得n²-9n+8=0，n₁=1（舍）  n₂=8…（6分）
（2）所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)記為事件A，由幾何概型的概率公式得：
P（A）=

葉形圖面積

AOBC的面積

=

∫ 1 0 ( x -x2)dx

1

=（

2

3

x

3

2

-

1

3

x3）

|

1 0

=

1

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，突出考查幾何概型，定積分求面積，突出運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．