Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ） 求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）當n為何值時，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數列的首項和公差，由已知條件列方程組求出首項和公差，然后直接代入等差數列的通項公式求解；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的首項和公差直接代入等差數列的前n項和公式求解；
（Ⅲ）利用二次函數的性質求前n項和的最大值．

解答：解：設等差數列的首項為a₁，公差為d，
由

a3=a1+2d=24 a6=a1+5d=18

，得

a1=28 d=-2

．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=28-2（n-1）=30-2n；
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=28n+

n(n-1)•(-2)

2

=-n2+29n．
（Ⅲ）因為Sn=-n2+29n，
由二次函數的性質可得，當n=

29

2

時函數有最大值，
而n∈N^*，所以，當n=14或15時，S_n最大，最大值為210．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差數列的前n項和公式，訓練了利用二次函數求最值，是基礎題．