已知函數(shù)f(x)=
xx-1

（1）函數(shù)y=ax-a+2的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的值；
（2）試求圓心在原點且與函數(shù)f（x）的圖象有且只有三個公共點的圓C的方程．
分析：（1）函數(shù)y=ax-a+2的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有且只有一個公共點，等價于方程
x
x-1
=ax-a+2有且只有一解，從而分類討論可求；
（2）先判斷函數(shù)f(x)=
x
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱，所以可得交點必關(guān)于直線y=x對稱．因為圓心在原點且與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個交點，則必有一個交點在直線y=x上，即這個交點就是函數(shù)y=f（x）與直線y=x的交點，從而可求得交點有兩個（0，0）、（2，2），其中（0，0）不滿足題意，故可求圓C的方程．
解答：解：（1）由題意得
x
x-1
=ax-a+2有且只有一解（1分）
a≠0時，由判別式等于0可得a=-
1
4
（3分）
a=0時，由圖象易得同樣滿足題意（4分）
所以a=0或a=-
1
4
（5分）
（2）易得函數(shù)f(x)=
x
x-1
的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱，所以可得交點必關(guān)于直線y=x對稱       （8分）
又圓心在原點且與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個交點，則必有一個交點在直線y=x上，
即這個交點就是函數(shù)y=f（x）與直線y=x的交點（9分）
求得交點有兩個（0，0）、（2，2），其中（0，0）不滿足題意，而過（2，2）時圓C的半徑為2
2
．
所以所求圓C的方程是x2+y2=8（10分）
點評：本題的考點是圓方程的綜合應(yīng)用，主要考查圓的方程求解，圖象的交點問題，關(guān)鍵是問題的等價轉(zhuǎn)化，考查學生分析解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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