Question

19．設(shè)有一條光線從P（-2，4$\sqrt{3}$）射出，并且經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q（2，0）反射
（Ⅰ）求入射光線和反射光線所在的直線方程（分別記為l₁，l₂）
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：x=my-2$\sqrt{3}$，當(dāng)點(diǎn)M（0，-6）到l的距離最大時(shí)，求l，l₁，l₂所圍成的三角形的內(nèi)切圓（即：圓心在三角形內(nèi)，并且與三角形的三邊相切的圓）的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線斜率，即可求入射光線和反射光線所在的直線方程；
（Ⅱ）l⊥MN時(shí)，M到l的距離最大，求出l的方程，再求出圓心與半徑，即可求出圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵k_PQ=-$\sqrt{3}$，∴l(xiāng)₁：y=-$\sqrt{3}$（x-2），
∵l₁，l₂關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴l(xiāng)₂：y=$\sqrt{3}$（x-2）；
（Ⅱ）設(shè)M到直線l的距離為MH，
∵l恒過(guò)點(diǎn)N（-2$\sqrt{3}$，0），∴MH=$\sqrt{48-N{H}^{2}}$，
∴NH=0時(shí)，MH最大，即l⊥MN時(shí)，M到l的距離最大，
∵k_MN=-$\sqrt{3}$，∴m=$\sqrt{3}$，
∴l(xiāng)的方程為x=$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$，
設(shè)所求方程為（x-2）²+（y-t）²=r²，∴r=$\frac{|t|}{2}$=$\frac{|\sqrt{3}t-2\sqrt{3}-2|}{2}$，∴t=2（另一根舍去），
∴所求方程為（x-2）²+（y-2）²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．