(本小題滿分14分)已知函數(shù)是不同時為零的常數(shù)),其導(dǎo)函數(shù)為.

(1)當(dāng)時,若不等式對任意恒成立,求的取值范圍;

(2)求證:函數(shù)內(nèi)至少存在一個零點(diǎn);

(3)若函數(shù)為奇函數(shù),且在處的切線垂直于直線,關(guān)于的方程上有且只有一個實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

 

【答案】

 

解:(1)當(dāng)時,,………1分

依題意  即恒成立

,解得 

所以b的取值范圍是…………………………………4分

(2)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250129231718184730_DA.files/image008.png">,

解法一:當(dāng)時,符合題意. ……………………………5分

當(dāng)時,,令,則,

,, 當(dāng)時,,

內(nèi)有零點(diǎn);……………………………7分

當(dāng)時,

內(nèi)有零點(diǎn).

當(dāng)時,內(nèi)至少有一個零點(diǎn).

綜上可知,函數(shù)內(nèi)至少有一個零點(diǎn). ……………………………9分

解法二:,,

.

因?yàn)?i>a,b不同時為零,所以,故結(jié)論成立.

(3)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052501245162501606/SYS201205250129231718184730_DA.files/image032.png">為奇函數(shù),所以,所以.

處的切線垂直于直線,所以,即.

……………………………………………………………………………………10分

1

 
上是單調(diào)遞增函數(shù),在上是單調(diào)遞減函數(shù),由解得,,

法一:如圖所示,作的圖像,若只有一個交點(diǎn),則

①當(dāng)時,

 

x

 

 

y

 

 
,解得;

 

 

-1

 

 

x

 

y

 

O

 

O

 

 

-1

 

t

 
②當(dāng)時,

解得;

 
③當(dāng)時,顯示不成立;

-1

 

 

t

 

 

x

 

 

 

y

 
④當(dāng)時,,

 

 

 

t

 

 

 

x

 

O

 

y

 
,解得;

 

 

 
⑤當(dāng)時,,

 

y

 

O

 
解得;

 

 

t

 

x

 
⑥當(dāng)時,.

………………………………………………………………13分

綜上t的取值范圍是.………………14分

法二:由,.

的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

當(dāng)時,過圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于軸的直線與都只有唯一交點(diǎn),當(dāng)取其它任何值時都有兩個或沒有交點(diǎn)。

所以當(dāng)時,方程上有且只有一個實(shí)數(shù)根.

 

【解析】略

 

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
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⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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